Công thức lượng giác cơ bản và mở rộng

TOANMATH.com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo cùng các em học sinh bài viết tuyển tập các công thức lượng giác cơ bản và mở rộng thường được sử dụng trong giải toán. Như chúng ta đều biết, việc nhớ hết toàn bộ các công thức lượng giác cơ bản và mở rộng là khó khăn, vì số lượng công thức khá nhiều, một số công thức phức tạp và dễ nhầm lẫn với các công thức khác. Tất nhiên, TOANMATH.com vẫn khuyến khích bạn đọc học thuộc các công thức lượng giác dưới đây, bởi như vậy, chúng ta sẽ chủ động trong quá trình giải quyết các bài toán.

1. Tính chất tuần hoàn

$sin alpha = sin (alpha + 2kpi )$

$cos alpha = cos (alpha + 2kpi )$

$tan alpha = tan (alpha + kpi )$

$cot alpha = cot (alpha + kpi )$

2. Công thức lượng giác các cung liên quan đặc biệt
a. Hai cung đối nhau:

$cos ( – alpha ) = cos alpha $

$sin ( – alpha ) = – sin alpha $

$tan ( – alpha ) = – tan alpha $

$cot ( – alpha ) = – cot alpha $

b. Hai cung bù nhau:

$sin (pi – alpha ) = sin alpha $

$cos (pi – alpha ) = – cos alpha $

$tan (pi – alpha ) = – tan alpha $

$cot (pi – alpha ) = – cot alpha $

c. Hai cung phụ nhau:

$sin left( {frac{pi }{2} – alpha } right) = cos alpha $

$cos left( {frac{pi }{2} – alpha } right) = sin alpha $

$tan left( {frac{pi }{2} – alpha } right) = cot alpha $

$cot left( {frac{pi }{2} – alpha } right) = tan alpha $

d. Hai cung hơn kém $pi $:

$sin (pi + alpha ) = – sin alpha $

$cos (pi + alpha ) = – cos alpha $

$tan (pi + alpha ) = tan alpha $

$cot (pi + alpha ) = cot alpha $

e. Hai cung hơn kém $frac{pi }{2}$:

$sin left( {frac{pi }{2} + alpha } right) = cos alpha $

$cos left( {frac{pi }{2} + alpha } right) = – sin alpha $

$tan left( {frac{pi }{2} + alpha } right) = – cot alpha $

$cot left( {frac{pi }{2} + alpha } right) = – tan alpha $

3. Công thức lượng giác cơ bản

${sin ^2}a + {cos ^2}a = 1$

$tan a = frac{{sin a}}{{cos a}}$

$cot a = frac{{cos a}}{{sin a}}$

$1 + {tan ^2}a = frac{1}{{{{cos }^2}a}}$

$1 + {cot ^2}a = frac{1}{{{{sin }^2}a}}$

$tan acot a = 1$

4. Công thức cộng

$cos (a – b) = cos acos b + sin asin b$

$cos (a + b) = cos acos b – sin asin b$

$sin (a + b) = sin acos b + sin bcos a$

$sin (a – b) = sin acos b – sin bcos a$

$tan (a + b) = frac{{tan a + tan b}}{{1 – tan atan b}}$

$tan (a – b) = frac{{tan a – tan b}}{{1 + tan atan b}}$

5. Công thức nhân đôi

$sin 2a = 2sin acos a$

$cos 2a = {cos ^2}a – {sin ^2}a$ $ = 2{cos ^2}a – 1$ $ = 1 – 2{sin ^2}a$

$tan 2a = frac{{2tan a}}{{1 – {{tan }^2}a}}$ $left( {a ne frac{pi }{4} + 2kpi } right)$

$cot 2a = frac{{{{cot }^2}a – 1}}{{2cot a}}$ $left( {a ne kfrac{pi }{2}} right)$

6. Công thức nhân ba

$sin 3a = 3sin a – 4{sin ^3}a$

$cos 3a = 4{cos ^3}a – 3cos a$

$tan 3a = frac{{3tan a – {{tan }^3}a}}{{1 – 3{{tan }^2}a}}$ $left( {a ne frac{pi }{6} + 2kpi } right)$

$cot 3a = frac{{3{{cot }^2}a – 1}}{{{{cot }^3}a – 3cot a}}$ $left( {a ne kfrac{pi }{3}} right)$

7. Công thức biến đổi tích thành tổng

$cos acos b = frac{1}{2}left[ {cos (a – b) + cos (a + b)} right]$

$sin asin b = frac{1}{2}left[ {cos (a – b) – cos (a + b)} right]$

$sin acos b = frac{1}{2}left[ {sin (a + b) + sin (a – b)} right]$

8. Công thức biến đổi tổng thành tích

$cos a + cos b = 2cos frac{{a + b}}{2}cos frac{{a – b}}{2}$

$cos a – cos b = – 2sin frac{{a + b}}{2}sin frac{{a – b}}{2}$

$sin a + sin b = 2sin frac{{a + b}}{2}cos frac{{a – b}}{2}$

$sin a – sin b = 2cos frac{{a + b}}{2}sin frac{{a – b}}{2}$

$cos a + sin a$ $ = sqrt 2 cos left( {frac{pi }{4} – a} right)$ $ = sqrt 2 sin left( {frac{pi }{4} + a} right)$

$cos a – sin a$ $ = sqrt 2 cos left( {frac{pi }{4} + a} right)$ $ = sqrt 2 sin left( {frac{pi }{4} – a} right)$

$tan a + tan b = frac{{sin (a + b)}}{{cos acos b}}$

$tan a – tan b = frac{{sin (a – b)}}{{cos acos b}}$

$cot a + cot b = frac{{sin (a + b)}}{{sin asin b}}$

$cot a – cot b = frac{{sin (b – a)}}{{sin asin b}}$

$cot a + tan a = frac{2}{{sin 2a}}$

$cot a – tan a = 2cot 2a$

9. Công thức hạ bậc

${cos ^2}a = frac{{1 + cos 2a}}{2}$

${sin ^2}a = frac{{1 – cos 2a}}{2}$

${tan ^2}a = frac{{1 – cos 2a}}{{1 + cos 2a}}$

${sin ^2}a{cos ^2}a = frac{{1 – cos 4a}}{8}$

${cos ^3}a = frac{{3cos a + cos 3a}}{4}$

${sin ^3}a = frac{{3sin a – sin 3a}}{4}$

${sin ^4}a = frac{{cos 4a – 4cos 2a + 3}}{8}$

${cos ^4}a = frac{{cos 4a + 4cos 2a + 3}}{8}$

10. Công thức biến đổi theo $tan frac{a}{2}$
Đặt $t = tan frac{a}{2}$ với ${a ne frac{pi }{2} + kpi }$, ${frac{a}{2} ne frac{pi }{4} + kpi }.$ Ta có:

$cos a = frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}$

$sin a = frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}$

$tan a = frac{{2t}}{{1 – {t^2}}}$

11. Tập nghiệm phương trình lượng giác cơ bản

$sin u = sin v Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{u = v + k2pi }\
{u = pi – v + k2pi }
end{array}} right.$

$cos u = cos v Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{u = v + k2pi }\
{u = – v + k2pi }
end{array}} right.$

$tan u = tan v Leftrightarrow u = v + kpi $

$cot u = cot v Leftrightarrow u = v + kpi $

Trường hợp đặc biệt:

$sin u = 0 Leftrightarrow u = kpi $

$sin u = 1 Leftrightarrow u = frac{pi }{2} + k2pi $

$sin u = – 1 Leftrightarrow u = – frac{pi }{2} + k2pi $

$cos u = 0 Leftrightarrow u = frac{pi }{2} + kpi $

$cos u = 1 Leftrightarrow u = k2pi $

$cos u = – 1 Leftrightarrow u = pi + k2pi $

Lưu ý: Một số điều kiện về các ẩn số chúng tôi đã cố ý lược bỏ để bài viết trở nên tinh giản, thuận tiện cho việc tra cứu.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *